La definizione di sé come problema agli autovalori (Eigenefinition als Eigenwertproblem)

AD MARCUM


Sceso dalla nave il novello marinaio rèce sempre il terrore covato solcando il primo mare grosso. I giovani e temerari tra l’equipaggio lo deridono, sfacciati. I più anziani sorridono, poi si danno a rassicurarlo. Tutti hanno avuto paura alla prima tempesta. Chi dice di non averne avuta e di non averne mai, è uno sciocco o uno sbruffone, in ogni caso destinato a vita breve.

La conquista di sé è, al pari della prima esperienza di navigazione in burrasca, un evento carico di angoscia. L'angoscia si impadronisce del giovane, a volte lo atterra e altre volte lo catapulta in aria. In volo l'adolescente cerca certezze, ma più vola alto più copiosamente le sue ali di cera gocciolano. La "ricerca esagerata di certezze" apre la porta a panico e accidia, due mali che "sembrano prosperare nelle società e nelle culture che hanno fatto della sicurezza il valore supremo" (*Isacco della Stella* , Sermone XIV). Pensare con disperazione alla terraferma non aiuta i marinai ad uscire dalla tempesta. Così come la ricerca di spiegazioni del comportamento delle particelle di scala atomica e sub-atomica in termini deterministici condusse i fisici di fine Ottocento in un vicolo cieco. Se la vichiana analogia tra ontogenesi e filogenesi può estendersi alla genesi della conoscenza, non sarà eresia troppo grande usare per metafora dello sviluppo del sé lo studio dei comportamenti delle particelle atomiche e sub-atomiche. Preludio a tale metafora sono le poche righe di ricapitolazione che seguono.

Un discepolo del marchese di Laplace nell'Ottocento sarebbe stato fiducioso di poter conoscere lo stato (per esempio, posizione e velocità rispetto a un osservatore) di un oggetto fisico di qualsivoglia massa ed estensione, istante per istante, a patto di saperne le condizioni ad un certo istante nel tempo e le azioni esterne su di esso. Un allievo di Heisenberg, nel Novecento, sarebbe stato d'accordo solo parzialmente, consapevole dell'impossibilità di misurare contemporaneamente tutte le quantità necessarie per caratterizzare il sistema, quindi sia di fornire i dati iniziali che di verificare la bontà delle previsioni fisiche. Questa impossibilità, derivante dal principio di indeterminazione di Heisenberg, impone di accontentarsi di conoscere con esattezza solo l'evoluzione temporale delle grandezze misurabili contemporaneamente. Sulle altre grandezze possono solo darsi stime probabilistiche. Tuttavia, il principio di indeterminazione non è banalmente la sanzione della limitatezza delle nostre capacità di misura. Parlare di probabilità non significa esattamente arrendersi di fronte a ciò che non riusciamo a fare. La probabilità sembra essere intrinseca nei meccanismi della natura, ad esempio quando singoli elettroni si dispongono da soli su un bersaglio a formare figure di diffrazione. La loro è una coreografia i cui disegni si possono conoscere e anche prevedere, fin quando non si inizia a chiedere a ciascun ballerino dove si andrà a disporre. Se lo si fa, la magia cessa. Tutti rispondono allo stesso modo e si dirigono nello stesso punto, come legati da un giuramento di segretezza. Lasciati liberi, i ballerini tornano a comporre la propria coreografia, ciascuno custode del segreto del proprio ruolo. Qui risiede il punto cruciale: non sono gli scienziati a non essere capaci di effettuare qualche misura. È la natura che si comporta in un modo quando non si prova a interrogarla e in un altro quando la si è interrogata. Gli elettroni fanno parte di un'associazione segreta, i cui membri "si coprono" l'un l'altro davanti agli investigatori. Purché il segreto venga mantenuto, la probabilità diventa una terza realtà (tertium datur), che si riesce almeno in parte a manipolare (vedi i computer quantistici).

Quel che accade quando si interroga - si sottopone a misura, cioè - un sistema fisico, è che quest'ultimo si dispone (se non lo è già) in uno stato (detto auto-stato) che rimane poi inviolabile, immodificabile, intangibile dalla ripetizione di quella stessa misura. L'azione del misurare va vista come una trasformazione che dall'esterno si causa al sistema. Se il sistema si trova in un auto-stato, tale trasformazione lo lascia così com'è. La ricerca degli auto-stati relativi alla misura di ciascuna grandezza fisica d'interesse (posizione, velocità, energia etc.) è comunemente chiamata "problema agli auto-valori". Gli auto-valori sono numeri univocamente associati agli auto-stati. Un'equazione algebrica aiuta a capire più di mille parole:

Fψ=fψ.


L'azione dell'operazione di misura F (operatore) sullo stato ψ restituisce ψ stesso moltiplicato per f. ψ è l'autostato, f l'autovalore. f ha il significato di risultato dell'operazione di misura F. Risolvere questa (apparentemente innocua) equazione agli auto-valori significa trovare tutti gli esiti che la misura può avere. Problemi agli auto-valori sorgono in molti altri contesti della fisica, della matematica e dell'ingegneria: in tutti i contesti in cui è utile sapere quali sono gli stati o le direzioni, tra tutti quelli possibili, che non


cambiano quando vi si applichi una particolare trasformazione.

È in ossequio alla versatilità di questo strumento matematico che diventa lecito rivedere il problema della definizione di sé come un problema agli auto-valori.

La definizione del sé parte con l'individuare il più ampio insieme (necessariamente finito) di idee compatibili (non in contraddizione tra loro) che si possano eleggere a propri principii. Le decisioni e le azioni da compiere saranno gli auto-stati simultanei di queste idee: dovranno essere conformi con tutte. L’applicazione dei principi alle proprie azioni e decisioni, cioè, non dovrà mutarne la direzione. Questo non implica che i principi scelti debbano diventare dogmi. Nulla vieta di cambiare, in corso d'opera, l'insieme di idee scelte come riferimento; è proprio giostrandosi con le proprietà degli operatori e modificandoli che i fisici semplificano e risolvono molti problemi. È indispensabile, tuttavia, costruirsi un riferimento e pensare ed agire conformemente ad esso. L’identità (riconoscimento personale) e l’identificazione (riconoscimento della società) passano proprio per la scelta del sistema di riferimento. Trovati gli autostati, loro opportune combinazioni saranno soluzioni dei problemi di ogni giorno. Dalle combinazioni emergeranno strade nuove, conformi ai principi ma dotate di realtà autonoma (così come gli stati fisici non sono banalmente la somma di autostati). A quel punto sarà evidente che la scelta iniziale compiuta, seppur accompagnata necessariamente dalla rinuncia al suo opposto, è l’inizio - non il declino - delle occasioni.

La ricerca e l'individuazione dei propri principii è senz'altro qualcosa che dipende dalle condizioni del grande esperimento che è la vita di ciascuno. L'aiuto esterno può essere determinante, ma è l'interiore che compie la scelta. Come per la fisica, tutto sta a capire cosa si vuole osservare nell'esperimento.

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